观察与调整图像

关闭编辑面板后，函数图像会显示在完整坐标系中。画布支持单指平移和双指缩放，网格、刻度和曲线会随视野自动重绘。

调整视野

读取坐标系

画布以横轴表示 $x$、纵轴表示 $y$，原点标为 $0$。网格间距和刻度数字会根据当前缩放比例自动调整，避免放大或缩小时刻度过密。

左上角图例显示所有可见条目：

• 颜色圆点对应画布中的曲线或独立点；
• 普通函数显示 $f(x)$；
• 参数方程显示 $x(t)$ 和 $y(t)$；
• 极坐标显示 $r(\theta)$；
• 隐函数显示 $f(x,y)$；
• 独立点显示 $(x,y)$ 坐标表达式。

平移视野

用一根手指在画布上拖动，可以把坐标系和全部图像一起移动。平移只改变观察位置，不会修改函数表达式或定义域。

如果知道曲线大致位于哪个象限，可以先缩小寻找，再拖动到屏幕中央。

缩放视野

用两根手指捏合或张开可以缩小、放大。缩放会以两指中心附近为基准，因此可以把手指放在想观察的曲线细节周围。

连续大幅缩放后，网格刻度会自动换成适合当前尺度的数值。平移与缩放也可以连续配合使用。

观察函数

比较多条函数

最多可以让 10 个条目同时出现在画布中。比较函数时建议：

1. 为每个条目输入完整表达式并点击 确定。
2. 通过左上角图例确认颜色对应关系。
3. 缩放到能看清交叉或变化趋势的位置。
4. 如果曲线过多，进入编辑面板临时隐藏部分条目。

图像失真与显示限制

画布通过有限数量的取点和连线来呈现曲线，适合观察形状与变化趋势。视野过大、函数变化过快或局部结构过小时，显示结果可能遗漏细节，甚至出现不符合实际函数的连线。遇到这类情况，可以先调整观察范围，再结合表达式判断。

垂直渐近线附近的显示失真

这类问题不限于 $\tan x$，具有垂直渐近线的函数都可能出现。当 $x$ 从一侧或两侧接近某个值 $a$ 时，如果函数值趋向正无穷或负无穷，直线 $x=a$ 就是垂直渐近线。它表示曲线趋近的位置，不是函数图像中连接两侧分支的一条竖线。

常见例子如下，其中三角函数使用弧度制，$k\in\mathbb{Z}$：

绘制普通函数时，CalculatorX 会选取一系列 $x$ 值，算出对应的 $y$ 值，再用线段连接这些点。如果两个相邻取样点跨过了渐近线，它们各自仍可能得到有限的 $y$ 值；仅凭这两个点，无法保证发现中间趋向无穷的变化。如果这一处没有被识别并断开，就可能出现跨越渐近线的错误连线，或漏掉本应向上、向下无限延伸的部分。渐近线两侧的函数值不一定异号，例如 $1/x^2$ 在零的两侧都趋向正无穷，也可能受到取样限制影响。

缩小图像时，横轴覆盖的范围变大，有限的取样点更容易跨过这些急剧变化的位置。对 $\tan x$、$\csc x$ 等具有周期性分支的函数，大量渐近线和分支还会挤在同一屏内，可能形成密集竖线、交错斜线或看似连成一片的图案。平移或缩放会改变取样位置，因此失真的图案也可能随之变化。这不代表函数出现了新的分支或交点，也不表示每个具有垂直渐近线的函数在所有尺度下都会失真。

上图以 $\tan x$ 展示缩小后的密集失真现象；$\csc x$ 等具有垂直渐近线的函数也可能出现类似问题。

遇到这种情况：

1. 根据表达式确认渐近线的位置；涉及三角函数时，先核对设置的角度单位。上表对应 RAD。
2. 双指张开放大，缩小横轴的观察范围，分别观察渐近线两侧。对周期函数，可以先只看一两个周期。
3. 结合函数在渐近线附近的变化判断结果，不把跨越渐近线的连线或漏画部分当作真实数学性质。放大通常有助于观察，但不能保证消除所有显示误差。

快速振荡或狭窄细节被漏画

弧度制下的 $\sin(100x)$ 变化很快；$\sin(1/x)$ 则在靠近 $x=0$ 时振荡越来越密集。在较大的视野中，图像可能挤成色带、呈现不规则折线，或看起来像振荡次数更少的另一条曲线。轻微平移后显示形状发生明显变化，也是需要进一步放大的信号。

狭窄尖峰、小范围内才有定义的曲线，也可能在大视野中被漏画。例如 $\sqrt{0.0001-(x-1)^2}$ 只在 $0.99\le x\le1.01$ 内有实数值，观察整片坐标系时容易看不到它。

先平移到目标位置，再逐步放大。对于 $\sin(1/x)$，应选择不包含零的一个小区间观察；无论放大多少，都无法在一张有限的画面中分辨零附近的全部振荡。不要仅凭当前画面统计所有零点、极值或交点。

间断、缺口与定义域边界不明显

曲线缺失有时是正常的定义域限制：$1/x$ 在 $x=0$ 处没有定义，$\ln x$ 只在 $x>0$ 时有实数值，$\sqrt{x}$ 的实数定义域是 $x\ge0$。

CalculatorX 会尝试断开无效位置附近的曲线，但不能保证在所有缩放比例下都准确显示每个间断点。渐近线附近可能出现多余连线，定义域端点也可能显示不完整；单个被排除的点不一定以空心圆标出。

例如 $\frac{x^2-1}{x-1}$ 在 $x\ne1$ 时等于 $x+1$，但原式在 $x=1$ 处没有定义。即使画面看起来是一条完整直线，也不能认为 $(1,2)$ 属于原函数。判断定义域、连续性和端点是否包含时，应以原表达式为准。

参数曲线与极坐标图像出现折线

参数或角度范围很大、曲线反复绕行时，图像可能出现明显折角、跨越空白区域的直线，或遗漏细小回环。只放大画布未必能改善这些细节，因为画布缩放不会改变已设置的参数范围。

进入编辑面板，适当缩小 $t$ 或 $\theta$ 的定义域，分段观察需要的部分。范围也不要缩得过小，否则会截掉想看的曲线；存在分母为零等间断位置时，尽量选择不跨越该位置的区间。

隐函数的小轮廓或特殊写法显示不完整

隐函数中的小圆、狭窄分支和相交附近的细节，可能在大视野下漏画或连接不准确。可以先放大目标区域，再轻微平移，检查轮廓是否稳定。

数学上等价的隐函数写法，也可能得到不同的绘图效果。例如以下两个方程都表示单位圆：

第二种写法的左侧在圆内外都不会变成负数，当前绘图方式可能难以识别这条轮廓，出现漏画。此时建议在隐函数条目中输入较直接的 $x^2+y^2-1$，不要为了形式变化而额外平方。只包含孤立点的隐式关系也可能难以显示；已知坐标时，可以用“点”类型添加。

看似重合或相交不代表精确相等

两条曲线距离很近时，线条粗细和显示比例可能让它们看起来重合。例如 $y=x$ 与 $y=x+0.001$ 在较大视野下可能难以区分，但它们并不相交。

可以放大局部，或在编辑面板中轮流隐藏条目进行比较。需要确认交点或精确数值时，可将关系式转到方程求解中进一步计算，并检查结果是否满足原函数的定义域。

找不到图像时

可以按以下顺序检查：

1. 是否点击 确定 保存了当前表达式；
2. 条目左侧圆点是否为彩色可见状态；
3. 是否选择了正确的函数类型和变量；
4. 参数方程是否同时填写了 $x(t)$ 与 $y(t)$；
5. 参数或极坐标定义域是否覆盖需要绘制的范围；
6. 包含三角函数时，设置中的角度单位是否符合预期；
7. 曲线是否位于当前画布之外，尝试缩小并拖动画布；
8. 表达式是否存在除以零、无效根式或其他未定义区域。

隐函数应输入等于零之前的表达式，独立点则应填写两个能够计算为常数的坐标。

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