排列组合与数论

科学计算键盘提供阶乘、排列、组合、最大公约数、最小公倍数和取模运算，适合计数问题与常见整数计算。

排列与组合

阶乘

阶乘键在数字或表达式后插入 !。对于非负整数 $n$：

例如：

负整数阶乘没有定义，会返回定义域错误。非常大的阶乘不会始终展开成完整整数，CalculatorX 可能改用科学记数法表示其数量级。

组合数

组合数表示从 $n$ 个不同对象中选出 $r$ 个、不考虑顺序的方法数：

提示： 组合键的写法取决于“按键样式”设置。如果你看到的按键与本文示例不同，可以前往“组合与排列显示样式”设置，选择自己熟悉的形式。

CalculatorX 支持以下 5 种组合写法：

本文档统一采用第一种“国际学术规范” $\binom{n}{r}$ 写法演示。你可以按照自己的阅读习惯选择其他样式；不同写法只改变按键与公式的显示形式，不会改变参数含义和计算结果。

计算从 $10$ 个对象中选出 $3$ 个：

1. 点击 $\binom{\square}{\square}$。
2. 在第一个输入位置填入 $10$。
3. 使用方向键移动到第二个输入位置并填入 $3$。
4. 点击 =。

结果为：

排列数

排列数考虑选出对象的先后顺序：

提示： 排列键也可以在“组合与排列显示样式”设置中单独选择写法。

CalculatorX 支持以下 5 种排列写法：

本文档统一采用第五种“平铺函数风格” $\mathrm{P}(n,r)$ 写法演示。无论你在设置中选择哪一种样式，两个参数的含义、输入顺序和计算结果都保持不变。

例如：

普通计数问题通常使用非负整数，并满足 $0\le r\le n$。如果参数不符合问题定义，应先检查两个输入位置是否填反。

更改排列组合的样式

在“设置 → 按键样式”中，可以分别调整组合和排列的显示形式。可选样式包括学术式、角标式、现代或早期计算器式，以及 C(n, r)、P(n, r) 平铺形式。

样式只改变模板的写法，不改变参数含义和计算结果。

最大公约数和最小公倍数

最大公约数

最大公约数 GCD 是求和键上方的 Shift 功能。依次点击 ⇧Shift $\sum$，或直接长按 $\sum$，即可进行计算。

例如：

最小公倍数

最小公倍数 LCM 是求积键上方的 Shift 功能。依次点击 ⇧Shift $\prod$，或直接长按 $\prod$，即可进行计算。

例如：

含未知数的多项式

GCD 和 LCM 不只可以处理整数，还可以直接计算含未知数的多项式表达式。例如，下面两个多项式分别可以分解为 $(x-1)(x+1)$ 和 $(x-1)^2$：

把它们分别填入 GCD 的两个输入位置，可以直接找出公共因式：

使用 LCM 计算同一组表达式，则可以得到同时包含两式全部因式的最小公倍式：

输入时，将两个完整表达式分别放入模板的两个位置，再点击 =。这样无需先手动分解因式，就能快速找出多项式的公因式或最小公倍式。

无论计算整数还是多项式，都应完整填写两个输入位置。输入小数或不完整表达式时，可能无法得到有效结果。

取模运算

取模 mod 是绝对值键上方的 Shift 功能。它返回整数相除后的余数：

输入时先写被除数，再插入 mod，最后输入除数。

相关教程