矩阵运算

创建并填写矩阵后，可以直接使用主键盘上的运算符，也可以通过 Shift 调用按键上方以橙色标出的功能。矩阵运算对尺寸有明确要求，输入前先确认行数和列数可以减少报错。

基础矩阵运算

加法、减法与乘法

哈达玛积是对应位置元素逐项相乘，与通常的矩阵乘法不同。例如：

求逆、转置与共轭转置

这些运算写在矩阵右侧：

• 输入矩阵后点击 M⁻¹，计算逆矩阵；
• 输入矩阵后点击 Mᵀ，计算转置；
• 输入矩阵后先点击 ⇧Shift，再点击 Mᵀ，计算共轭转置 $M^{\mathrm H}$。

逆矩阵只适用于可逆方阵。转置可以用于任意矩阵；共轭转置会在转置的同时对复数元素取共轭，因此在只包含实数时与普通转置结果相同。

计算矩阵乘方

矩阵乘方是 M⁻¹ 上方的 Shift 功能：

1. 输入一个方阵。
2. 点击 ⇧Shift。
3. 点击 M⁻¹ 所在按键，插入矩阵幂的指数框。
4. 输入整数指数。
5. 点击 = 计算。

指数为 $2$ 表示矩阵与自身相乘。指数为 $0$ 时结果为同阶单位矩阵；负指数要求原矩阵可逆。

高级矩阵运算

使用行列式和高级运算

以下功能位于 Shift 功能层：

这些按键会先插入一个带空白框的函数模板。光标位于空白框时，点击矩阵尺寸按钮创建矩阵并填写元素，然后点击 =。

运算含义

• 行列式：返回方阵对应的一个标量，可用于判断矩阵是否可逆；
• 行最简形：通过初等行变换得到简化矩阵，常用于分析线性方程组；
• 特征值：返回满足 $Av=\lambda v$ 的 $\lambda$；
• 秩：返回矩阵中线性无关行或列的数量；
• 迹：返回方阵主对角线元素之和。

例如，对角矩阵

的行列式为 $6$，迹为 $5$，特征值为 $2$ 和 $3$。

输入单位矩阵

单位矩阵是矩阵尺寸按钮上方的 Shift 功能：

1. 点击 ⇧Shift。
2. 点击矩阵尺寸按钮，插入单位矩阵 $I$ 的阶数输入框。
3. 输入阶数，例如 $3$ 表示 $3\times3$ 单位矩阵。

单位矩阵可以直接参与加法、减法和乘法，也可以用于核对矩阵乘方等结果。

出现尺寸错误时

依次检查：

1. 加法、减法或哈达玛积的两个矩阵是否同型；
2. 矩阵乘法中左矩阵列数是否等于右矩阵行数；
3. 求逆、行列式、迹、特征值和矩阵乘方是否使用了方阵；
4. 矩阵中的所有空白框是否已经填写；
5. 运算符或函数模板是否放在矩阵外侧的正确位置。

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